INDETITAS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN / SELISIH SINUS DAN KOSINUS

 

1.    Perkalian Sinus dan Kosinus

 

Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenai Trigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

 

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

 

Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.

 

1.   cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

 

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh

 

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

 

jadi,perkalian cosinus dan cosinus adalah :

2.   cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)

 

Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :

 cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β

 jadi perkalian sinus dan sinus adalah :

3.    sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)

  sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

  Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

  sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

   jadi,perkalian sinus dan cosinus adalah :

 

Contoh Soal:

Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.

Penyelesaian:

 4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]

= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]

= 2 sin 72°[0 + sin72°]

= 2 sin cos 2 (72°)

= 1 – cos2(72°)

= 1 – cos144°

2.   PENJUMLAHAN/SELISIH SINUS DAN KONSINUS

a.     Penjumlahan sinus dan konsinus

 

Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
Misalkan:

 

Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β) = cos α + cos β
atau

    

Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal:
Sederhanakan: cos 100° + cos 20°.
Penyelesaian:
cos 100° + cos 20° = 2 cos 1/2(100 + 20)° cos 1/2(100 – 20)°
                              = 2 cos 60° cos 40°
                              = 2 ⋅ 1/2 cos 40°
                              = cos 40°

b.   Rumus Pengurangan Cosinus

Dari rumus 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B), dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, terdapat rumus:

Contoh soal:
Sederhanakan cos 35° – cos 25°.
Penyelesaian:
cos 35° – cos 25° = –2 sin 1/2 (35 + 25)° sin 1/2 (35 – 25)°
                            = –2 sin 30° sin 5°
                            = –2 ⋅ 1/2 sin 5°
                            = – sin 5°

c. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus

Dari rumus 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B), dengan memisalkan
A + B = α dan A – B = β, maka didapat rumus:

        

Contoh soal:
Sederhanakan sin 315° – sin 15°.
Penyelesaian:
sin 315° – sin 15° = 2⋅ cos 1/2 (315 + 15)° ⋅ sin 1/2 (315 – 15)°
                            = 2⋅ cos 165° ⋅ sin 150°
                            = 2⋅ cos 165 ⋅ 1/2
                            = cos 165°